Codeforces 599E Sandy and Nuts

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task

给出一棵树的点的数量n，和部分边的数量，以及一个q，q表示给出q个三元组(a,b,c)，满足lca(a,b)=c，求满足这样条件并以1为根的树共有几种。
$1<=n<=15$
$0<=m<n$
$1<=q<=100$

solution

这题既然问的是方案数，那么不是搜索就是dp了。搜索显然不可能，那么就是dp了。
由于n最多也就是15个点，所以我们可以用状压dp。
$dp[x][s]$表示第x个节点为根的子树中点的状况为s的最多方案数。
我们可以用递归的方式来写。
每次从原状态s中找到一个子集i，然后判断这个子集能否从s中分离，判断条件如下：

  1. 在子集i中是否有两个点的lca是x或者有两个点已经与x有一条边，若是则不行。
  2. 是否有两个点分别属于i与$s^i$但是它们的lca并不是x，或是他们之间有一条边，若是则不行。

如果成立我们从s中枚举一个子树的根j。当然我们需要判断此点是否可以作为子树的根。判断条件如下：

  1. 在子集i中是否有一个点与j的lca不是j，若是则不行。
  2. 在子集i中是否有另外一个点与x已有边，若是则不行。

如果成立，那么说明此点可以作为子树的根，那么我们就可以转移了。
$$Dp[x][s]+=dfs(j,i-1<<j)*dfs(x,s^i)$$
为什么要相乘呢？因为这两部分可以作为同一棵树的两个部分，是相关，如果一个部分无解，那么就算另一个部分方案数再大也无济于事。
最后要注意两个情况：

  1. 转移是要保证$i<s^i$，这样可以完美的杜绝重复状况。
  2. 记得开long long。

Code

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define S 16
#define ll long long
using namespace std;
int n,lca[S][S],edge[S][S];
ll dp[S][1<<S];
bool check(int x,int s1,int s2){
	if(s1<s2)return 0;
	bool flag=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
			if((1<<i&s1)&&(1<<j&s2)){
				if(edge[i][j])return 0;
				if(~lca[i][j]&&lca[i][j]!=x)return 0;
			}
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
			if((1<<i&s1)&&(1<<j&s1)){
				if(edge[x][i]&&edge[x][j]&&i!=j)return 0;
				if(~lca[i][j]&&lca[i][j]==x)return 0;
			}
	return 1;
}
bool chk(int x,int s,int t){
	for(int i=0;i<n;i++)
		if(1<<i&s){
			if(~lca[x][i]&&lca[x][i]!=x)return 0;
			if(edge[t][i])return 0;
		}
	return 1;
}
ll dfs(int x,int s){
	if(s==0)return 1;
	ll &t=dp[x][s];
	if(t==-1){
		t=0;
		for(int i=0;i<=s;i++){
			if((i&s)!=i)continue;
			if(!check(x,i,s^i))continue;
			for(int j=0;j<n;j++)
				if(((1<<j)&i)&&chk(j,i-(1<<j),x))
					t+=dfs(j,i-(1<<j))*dfs(x,s^i);
		}
	}
	return t;
}
int main(){
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	memset(lca,-1,sizeof(lca));
	int m,q,i,a,b,c;
	scanf("%d %d %d",&n,&m,&q);
	int k=(1<<n)-1;
	for(i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d %d",&a,&b);
		a--;b--;
		edge[a][b]=edge[b][a]=1;
	}
	for(i=1;i<=q;i++){
		scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
		a--;b--;c--;
		if(~lca[a][b]&&lca[a][b]!=c){puts("0");return 0;}
		if(a==b&&c!=a){puts("0");return 0;}
		if((!a||!b)&&c){puts("0");return 0;}
		lca[a][b]=c;lca[b][a]=c;		
	}
	cout<<dfs(0,k-1)<<endl;
	return 0;
}